Par Bibon Bibi
Qu’est-ce qu’on serait devenus si on avait fait des choix différents au long de notre vie ? Vous concernant, j’ai une réponse. Oui, vous, qui lisez le ScrUB, je sais exactement ce qui vous arrive dans un autre monde ; un monde où, après le bac, vous faites le choix de l’hôtellerie…
Vous dirigez l’Hôtel de Hilbert, un hôtel de
luxe de renommée mondiale. En ce moment,
il connaît beaucoup de succès : pour cause,
votre hôtel a un petit quelque chose
qu’aucun autre hôtel n’a sur Terre. Un
distributeur de crevettes, c’est vrai, et aussi
une infinité de chambres. Tout à fait, un
nombre infini de chambres :
minutieusement numérotées, de 1, 2, 3, 4…
jusqu’à, et bien jusqu’à ce que vous ne
puissiez plus apercevoir le numéro. Un
dimanche, pendant l’été, vous recevez une
notification de l’ordinateur central : toutes
les chambres sont prises, ce qui signifie
qu’actuellement, une infinité de personnes
réside dans votre hôtel. Au fait, comment ça
marche ? Qui a payé pour tout ça ?
Pas le temps de se poser des questions :
pendant que vous aviez la tête ailleurs, un
riche investisseur vient vous voir au
guichet, et il exige une chambre. Il faut
l’accueillir : pourtant, l’hôtel est plein !
Comment faire ?
Soudain vous vient l’illumination : il faut demander à tous les clients déjà logés de déménager vers la chambre suivante. Le client de la chambre 1 ira dans la 2 ; le client qui occupait la 2, lui, ira dans la 3, et ainsi de suite. Dans un hôtel classique, le dernier client se retrouverait ainsi à la rue : mais dans cet hôtel, il n’y a pas de dernier client. Tout le monde reste logé, et toutes les chambres sont occupées, sauf la 1 : c’est celle dans laquelle l’investisseur peut à présent s’installer.
C’est une technique bien utile que vous avez trouvée, qui vous permettra en prime de gérer les crises similaires à l’avenir. Une minute, qu’est-ce qui vient de se passer ? Il y a un client en plus mais toujours autant de chambres !
Pas le temps de réfléchir : une femme sonne au guichet. Vous lui
annoncez tout sourire que vous pouvez l’accueillir, mais elle
rétorque : « Moi ? J’aimerais bien, mais je suis chauffeuse de bus, et
j’ai une infinité de passagers à vous refiler. » Une infinité ? Vous jetez un coup d’œil dehors : elle ne mentait pas.
Le bus s’étend à perte de vue, et à l’intérieur, le passager 1 est suivi
du passager 2, puis 3, puis 4… Ça sent le roussi, quand soudain, vous
avez l’éclair de génie : tous les clients déjà logés doivent aller dans le
double de leur chambre actuelle. L’investisseur ira dans la chambre
2, le client de la 2 ira dans la 4, etc.
Quand vous prenez le double d’un nombre, il devient pair : c’est
pourquoi maintenant, seules les chambres 2, 4, 6… sont occupées,
alors que les chambres 1, 3, 5… sont vides. Les passagers du bus
obtiennent alors ces chambres.
Vous avez un certain don avec cet hôtel ! Si demain, trois bus infinis
débarquent, vous pourrez simplement répéter le processus trois
fois. Une seconde : un bus infini ? Où est-ce qu’on trouve assez
d’essence pour faire rouler un bus aussi énorme ? Pas le temps de rêvasser ! Une ombre immense vient à l’instant de
recouvrir l’entièreté de l’hôtel.
Vous sortez immédiatement et apercevez une soucoupe volante
dont vous ne voyez pas le bout. Un petit alien se téléporte alors
devant vous, se présente et demande une chambre pour chacun de
ses amis aliens. Vous fermez les yeux, et prenez une grande
inspiration : mais alors que vous vous apprêtiez à demander à l’alien
quelques détails, un mystérieux inconnu vous interrompt : « C’est pas la peine d’essayer, malheureusement. C’est impossible. »
« Qui êtes-vous ? »
« Je suis Georg Cantor. Il y a bien longtemps, mon ami David Hilbert a construit cet hôtel, et ces mêmes aliens ont tous demandé une chambre. Ils sont très différents de nous, voyez : ils sont numérotés à l’aide de nombres réels. Non seulement il y a les aliens 1, 2, 3… Mais aussi 3.5, -12, 0.314 et je ne sais encore. On a tout essayé, mais les aliens sont simplement trop nombreux pour rentrer dans l’hôtel. »
L’abandon n’est pas une option, pas après avoir fait rentrer un bus
entier dans l’hôtel ! Vous poursuivez :
« Si on réfléchit à de nouvelles techniques, on peut peut-être y
arriver ! »
« J’ai moi-même démontré pourquoi c’est infaisable, amigo. (1) Du
moins, pour l’instant. »
« Pour l’instant ? »
« En théorie, si on faisait les rénovations nécessaires, on pourrait
nous aussi construire autant de chambres qu’il y a de nombres réels,
et ainsi loger tous les aliens. Mais il nous faudrait infiniment plus de
chambres qu’il y en a actuellement. »
L’ambition ne vous fait pas peur : vous acceptez le défi. Vous,
Cantor, et l’alien, passez des mois à faire des travaux dans tout
l’hôtel, et un an plus tard, vous inaugurez avec fierté la Station
spatiale de Hilbert, un complexe spatial infini qui accueille autant de
chambres qu’il y a de nombres réels. Les aliens ont enfin tous une
chambre, tout comme l’investisseur, et les passagers du bus.
Une petite seconde : qu’est-ce qu’ils font encore tous ici ? Ils n’ont
pas mieux à faire que de rester à l’hôtel ?
Pas le temps de s’interroger ! Vous apercevez une nouvelle
soucoupe infinie à l’horizon spatial, puis deux, puis trois… Une
infinité ?! Le combat n’est pas fini.
(1) Georg Cantor est en effet le mathématicien qui a montré qu’il n’y
avait pas de “bijection” possible entre les entiers et les réels,
c’est-à-dire qu’il n’y a pas autant d’aliens que de chambres.
